2. Найти \(\dfrac{dy}{dx}\): а) \(\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[4]{y^3}=\sqrt[4]{4}\); б) \((\arccos(xy))^2+\sin y=1\); в) \(x=\operatorname{ctg}t,\quad y=t\cos t+\sin t\).

а) Дифференцируем неявное уравнение по \(x\):

\(\dfrac{3}{4}x^{-1/4}+\dfrac{3}{4}y^{-1/4}y'=0\).

Отсюда \(y'=-\dfrac{y^{1/4}}{x^{1/4}}=-\sqrt[4]{\dfrac{y}{x}}\).

б) Дифференцируем обе части:

\(-\dfrac{2\arccos(xy)(y+xy')}{\sqrt{1-x^2y^2}}+\cos y\,y'=0\).

Собирая слагаемые с \(y'\), получаем:

\(\displaystyle y'=\frac{2y\arccos(xy)}{\sqrt{1-x^2y^2}\cos y-2x\arccos(xy)}\).

в) Для параметрически заданной кривой \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\). Здесь \(\dfrac{dx}{dt}=-\csc^2t\), а \(\dfrac{dy}{dt}=2\cos t-t\sin t\). Поэтому

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{t\sin t-2\cos t}{\csc^2t}=(t\sin t-2\cos t)\sin^2t\), при \(\sin t\ne0\).