3. Найти $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, если $y=\sqrt{x+1}\ln(x+1)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Найти $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, если $y=\sqrt{x+1}\ln(x+1)$.$ Фото задания

Accepted Answer

Запишем функцию как произведение: $y=(x+1)^{1/2}\ln(x+1)$.

По правилу произведения:

$\displaystyle y'=\frac{\ln(x+1)}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}}=\frac{\ln(x+1)+2}{2\sqrt{x+1}}$.

Дифференцируем ещё раз:

$\displaystyle y''=\frac{1}{2}(x+1)^{-3/2}-\frac{1}{4}(\ln(x+1)+2)(x+1)^{-3/2}=-\frac{\ln(x+1)}{4(x+1)^{3/2}}$.

Ответ: $\displaystyle y''=-\frac{\ln(x+1)}{4(x+1)^{3/2}}$, при $x>-1$.

3. Найти \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\), если \(y=\sqrt{x+1}\ln(x+1)\).