4. Найти дифференциал функции: $y=\arctg\dfrac{x}{x^2+5}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Найти дифференциал функции: $y=\arctg\dfrac{x}{x^2+5}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Пусть $u=\dfrac{x}{x^2+5}$. Тогда $y'=\dfrac{u'}{1+u^2}$.

По правилу производной частного:

$\displaystyle u'=\frac{x^2+5-2x^2}{(x^2+5)^2}=\frac{5-x^2}{(x^2+5)^2}$.

Следовательно,

$\displaystyle y'=\frac{5-x^2}{(x^2+5)^2+x^2}$, поэтому дифференциал равен

$\displaystyle dy=\frac{5-x^2}{(x^2+5)^2+x^2}\,dx$.

4. Найти дифференциал функции: \(y=\arctg\dfrac{x}{x^2+5}\).