2. Найти \(\frac{dy}{dx}\): а) \(\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[4]{y^3}=\sqrt[4]{4}\); б) \((\arccos(xy))^2+\sin y=1\); в) \(x=\operatorname{ctg}t,\ y=t\cos t+\sin t\).

а) Дифференцируем неявное уравнение по \(x\):

\(\frac{3}{4}x^{-1/4}+\frac{3}{4}y^{-1/4}\frac{dy}{dx}=0\).

Отсюда \(\frac{dy}{dx}=-\frac{y^{1/4}}{x^{1/4}}=-\sqrt[4]{\frac{y}{x}}\).

б) Пусть \(u=xy\). Тогда

\(2\arccos(xy)\left(-\frac{y+x\frac{dy}{dx}}{\sqrt{1-x^2y^2}}\right)+\cos y\frac{dy}{dx}=0\).

Собирая слагаемые с \(\frac{dy}{dx}\), получаем

\(\frac{dy}{dx}=\frac{2y\arccos(xy)}{\cos y\sqrt{1-x^2y^2}-2x\arccos(xy)}\).

в) Для параметрически заданной кривой \(\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\). Имеем \(\frac{dy}{dt}=2\cos t-t\sin t\), \(\frac{dx}{dt}=-\frac{1}{\sin^2t}\). Поэтому

\(\frac{dy}{dx}=(t\sin t-2\cos t)\sin^2t\).