2) Найти sin(α+β), cos(α-β), если sin α = 0,6, cos β = 0,8, π/2 < α ≤ π, 3π/2 ≤ β ≤ 2π

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие тригонометрические формулы:

• \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]
• \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \]

Сначала найдем значения cos α и sin β, учитывая заданные интервалы для углов:

1. Находим cos α:
   Так как \( \pi/2 < \alpha \le \pi \), то α находится во II четверти, где косинус отрицательный. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
   \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 \]
   \[ \cos \alpha = -\sqrt{0.64} = -0.8 \]
2. Находим sin β:
   Так как \( 3\pi/2 \le \beta \le 2\pi \), то β находится в IV четверти, где синус отрицательный. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \).
   \[ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36 \]
   \[ \sin \beta = -\sqrt{0.36} = -0.6 \]

Теперь подставим найденные значения в формулы:

1. Вычисляем sin(α+β):
   \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \]
   \[ \sin(\alpha + \beta) = (0.6)(0.8) + (-0.8)(-0.6) \]
   \[ \sin(\alpha + \beta) = 0.48 + 0.48 = 0.96 \]
2. Вычисляем cos(α-β):
   \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \]
   \[ \cos(\alpha - \beta) = (-0.8)(0.8) + (0.6)(-0.6) \]
   \[ \cos(\alpha - \beta) = -0.64 + (-0.36) = -0.64 - 0.36 = -1 \]

Ответ: sin(α+β) = 0.96, cos(α-β) = -1