3) Вычислить sin(α-300°) + cos(600°+α)

Решение:

Для вычисления этого выражения воспользуемся свойствами периодичности тригонометрических функций и формулами приведения.

1. Упростим sin(α-300°):

Угол 300° находится в IV четверти. Можно использовать формулу приведения или свойства отрицательного угла:

• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) = \sin(\alpha - (360^{\circ} - 60^{\circ})) \]
• \[ \sin(\alpha - 300^{\circ}) = \sin(\alpha - 360^{\circ} + 60^{\circ}) \]
• Поскольку функция синус имеет период \( 360^{\circ} \), то \( \sin(\alpha - 360^{\circ} + 60^{\circ}) = \sin(\alpha + 60^{\circ}) \]
• Теперь используем формулу для синуса суммы: \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
• \[ \sin(\alpha + 60^{\circ}) = \sin \alpha \cos 60^{\circ} + \cos \alpha \sin 60^{\circ} \]
• \[ \sin(\alpha + 60^{\circ}) = \sin \alpha \cdot \frac{1}{2} + \cos \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \]

2. Упростим cos(600°+α):

Угол 600° больше 360°. Найдем его эквивалент в пределах одного периода:

• \[ 600^{\circ} = 360^{\circ} + 240^{\circ} \]
• Значит, \( \cos(600^{\circ} + \alpha) = \cos(360^{\circ} + 240^{\circ} + \alpha) = \cos(240^{\circ} + \alpha) \]
• Используем формулу для косинуса суммы: \( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)
• \[ \cos(240^{\circ} + \alpha) = \cos 240^{\circ} \cos \alpha - \sin 240^{\circ} \sin \alpha \]
• Значения \( \cos 240^{\circ} \) и \( \sin 240^{\circ} \) отрицательные, так как 240° находится в III четверти.
• \[ \cos 240^{\circ} = -\frac{1}{2} \]
• \[ \sin 240^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
• Подставляем:
• \[ \cos(240^{\circ} + \alpha) = \left(-\frac{1}{2}\right) \cos \alpha - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \sin \alpha \]
• \[ \cos(240^{\circ} + \alpha) = -\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \]

3. Сложим упрощенные выражения:

• \[ (\frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha) + (- \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) \]
• Сгруппируем члены с \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \):
• \[ (\frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) + (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha) \]
• Вынесем общие множители:
• \[ \sin \alpha (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos \alpha (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) \]
• \[ \sin \alpha \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \cos \alpha \frac{\sqrt{3}-1}{2} \]

Ответ: \[ \frac{1+\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cos \alpha \]