3) Вычислить sin(α-600°) + cos(300°+α)

Решение:

Для вычисления этого выражения воспользуемся свойствами периодичности тригонометрических функций и формулами приведения.

1. Упростим sin(α-600°):

Угол 600° больше 360°. Найдем его эквивалент в пределах одного периода:

• \[ 600^{\circ} = 360^{\circ} + 240^{\circ} \]
• Значит, \( \sin(\alpha - 600^{\circ}) = \sin(\alpha - (360^{\circ} + 240^{\circ})) = \sin(\alpha - 360^{\circ} - 240^{\circ}) \]
• Поскольку функция синус имеет период \( 360^{\circ} \), то \( \sin(\alpha - 360^{\circ} - 240^{\circ}) = \sin(\alpha - 240^{\circ}) \]
• Теперь используем формулу для синуса разности: \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \)
• \[ \sin(\alpha - 240^{\circ}) = \sin \alpha \cos 240^{\circ} - \cos \alpha \sin 240^{\circ} \]
• Значения \( \cos 240^{\circ} \) и \( \sin 240^{\circ} \) отрицательные, так как 240° находится в III четверти.
• \[ \cos 240^{\circ} = -\frac{1}{2} \]
• \[ \sin 240^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
• Подставляем:
• \[ \sin(\alpha - 240^{\circ}) = \sin \alpha \left(-\frac{1}{2}\right) - \cos \alpha \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
• \[ \sin(\alpha - 240^{\circ}) = -\frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \]

2. Упростим cos(300°+α):

Угол 300° находится в IV четверти. Можно использовать формулу приведения:

• \[ \cos(300^{\circ} + \alpha) = \cos((360^{\circ} - 60^{\circ}) + \alpha) = \cos(360^{\circ} + \alpha - 60^{\circ}) \]
• Поскольку функция косинус имеет период \( 360^{\circ} \), то \( \cos(360^{\circ} + \alpha - 60^{\circ}) = \cos(\alpha - 60^{\circ}) \]
• Теперь используем формулу для косинуса разности: \( \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
• \[ \cos(\alpha - 60^{\circ}) = \cos \alpha \cos 60^{\circ} - \sin \alpha \sin 60^{\circ} \]
• \[ \cos(\alpha - 60^{\circ}) = \cos \alpha \cdot \frac{1}{2} - \sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
• \[ \cos(\alpha - 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \]

3. Сложим упрощенные выражения:

• \[ (- \frac{1}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha) + (\frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) \]
• Сгруппируем члены с \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \):
• \[ (-\frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha) + (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha) \]
• Вынесем общие множители:
• \[ \sin \alpha (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos \alpha (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) \]
• \[ \sin \alpha \frac{-1-\sqrt{3}}{2} + \cos \alpha \frac{\sqrt{3}+1}{2} \]
• \[ -\frac{1+\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}+1}{2} \cos \alpha \]

Ответ: \[ -\frac{1+\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}+1}{2} \cos \alpha \]