2. Около остроугольного треугольника ABC описана окружность. Точка O пересечения серединных перпендикуляров к сторонам удалена от прямой AB на 6 см. Найдите ∠OBA и радиус окружности, если ∠AOC = 90°, ∠OBC = 15°.

Пусть H — проекция O на прямую AB. Так как O — центр описанной окружности, расстояние от центра до хорды AB делится пополам перпендикуляром, а в равнобедренном треугольнике AOB высота OH также биссектриса угла AOB. Поэтому \(\angle OBA=\angle BAO\).

Центральный угол \(\angle AOC=90^\circ\) стягивает меньшую дугу AC, следовательно, вписанный угол \(\angle ABC=45^\circ\). Луч BO лежит внутри угла ABC, поэтому \(\angle OBA=\angle ABC-\angle OBC=45^\circ-15^\circ=30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике OBH: \(OH=6\) см, \(\angle OBH=\angle OBA=30^\circ\). Тогда \(\sin 30^\circ=OH/OB\), откуда \(OB=6/(1/2)=12\) см. OB — радиус описанной окружности.

Ответ: \(\angle OBA=30^\circ\), радиус окружности — 12 см.