3. В параллелограмм ABCD с углом A, равным 45°, и стороной AD, равной 10√2 дм, вписана окружность. Найдите радиус окружности.

Чтобы в параллелограмм можно было вписать окружность, суммы длин противоположных сторон должны быть равны. Для параллелограмма это возможно только при равенстве соседних сторон; значит, ABCD — ромб.

Радиус вписанной окружности равен половине высоты к стороне AD. Высота равна \(AD\sin A=10\sqrt{2}\cdot\sin45^\circ=10\) дм.

Следовательно, \(r=10/2=5\) дм.

Ответ: 5 дм.