2. Около прямоугольного треугольника описана окружность радиуса 10 см. Найдите периметр и площадь этого треугольника, если его катеты относятся как 4:3.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем длину гипотенузы (c). Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, следовательно, \( c = 2r = 2 \cdot 10 = 20 \) см.
2. Шаг 2: Найдем длины катетов (a и b). Пусть катеты относятся как 4:3, то есть \( a = 4x \) и \( b = 3x \). По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
   \( (4x)^2 + (3x)^2 = 20^2 \)
   \( 16x^2 + 9x^2 = 400 \)
   \( 25x^2 = 400 \)
   \( x^2 = \frac{400}{25} = 16 \)
   \( x = \sqrt{16} = 4 \) см.
   Тогда катеты равны: \( a = 4x = 4 \cdot 4 = 16 \) см и \( b = 3x = 3 \cdot 4 = 12 \) см.
3. Шаг 3: Найдем периметр треугольника (P). \( P = a + b + c = 16 + 12 + 20 = 48 \) см.
4. Шаг 4: Найдем площадь треугольника (S). \( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96 \) см².

Ответ: Периметр равен 48 см, площадь равна 96 см².