№2. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 8 см и 3 см и углом между ними 60°. Высота призмы 15 см. Найдите площадь полной поверхности и объём призмы.

Дано:

Треугольник со сторонами \( a = 8 \) см, \( b = 3 \) см и углом между ними \( \gamma = 60° \).

Высота призмы \( H = 15 \) см.

Найти:

Площадь полной поверхности \( S_{полн} \) и объём \( V \) призмы.

Решение:

1. Площадь основания призмы (площадь треугольника):

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле: \( S_{осн} = \frac{1}{2}ab \sin{\gamma} \).

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \cdot \sin{60°} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см².

2. Периметр основания призмы:

Сначала найдём третью сторону треугольника \( c \) по теореме косинусов: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma} \).

\( c^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos{60°} = 64 + 9 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49 \).

\( c = \sqrt{49} = 7 \) см.

Периметр основания \( P = a + b + c = 8 + 3 + 7 = 18 \) см.

3. Площадь боковой поверхности призмы:

Площадь боковой поверхности призмы вычисляется по формуле: \( S_{бок} = P \cdot H \).

\( S_{бок} = 18 \cdot 15 = 270 \) см².

4. Площадь полной поверхности призмы:

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания: \( S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} \).

\( S_{полн} = 270 + 2 \cdot 6\sqrt{3} = 270 + 12\sqrt{3} \) см².

5. Объём призмы:

Объём призмы вычисляется по формуле: \( V = S_{осн} \cdot H \).

\( V = 6\sqrt{3} \cdot 15 = 90\sqrt{3} \) см³.

Ответ: Площадь полной поверхности призмы \( S_{полн} = 270 + 12\sqrt{3} \) см², объём призмы \( V = 90\sqrt{3} \) см³.