№4. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 8 см, диагональ основания – 30 см. Найдите боковое ребро и объём пирамиды.

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида.

Высота \( H = 8 \) см.

Диагональ основания \( d_{осн} = 30 \) см.

Найти:

Боковое ребро \( l \) и объём \( V \) пирамиды.

Решение:

1. Найдём сторону основания пирамиды:

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат. Диагональ квадрата связана со стороной \( a \) соотношением \( d_{осн} = a\sqrt{2} \).

\( 30 = a\sqrt{2} \).

\( a = \frac{30}{\sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2} \) см.

2. Найдём объём пирамиды:

Площадь основания квадрата: \( S_{осн} = a^2 = (15\sqrt{2})^2 = 225 \cdot 2 = 450 \) см².

Объём пирамиды: \( V = \frac{1}{3}S_{осн} H \).

\( V = \frac{1}{3} \cdot 450 \cdot 8 = 150 \cdot 8 = 1200 \) см³.

3. Найдём боковое ребро пирамиды:

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( H \), половиной диагонали основания \( \frac{d_{осн}}{2} \) и боковым ребром \( l \). По теореме Пифагора:

\( l^2 = H^2 + (\frac{d_{осн}}{2})^2 \).

\( \frac{d_{осн}}{2} = \frac{30}{2} = 15 \) см.

\( l^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 \).

\( l = \sqrt{289} = 17 \) см.

Ответ: Боковое ребро \( l = 17 \) см, объём пирамиды \( V = 1200 \) см³.