2. Площадь прямоугольного треугольника равна 512√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Обозначим прилежащий к углу \(60^\circ\) катет через \(x\). Второй катет, противолежащий этому углу, равен \(x\tan60^\circ=x\sqrt3\).

По формуле площади прямоугольного треугольника:

\(\frac12 x\cdot x\sqrt3=512\sqrt3\).

Сократим на \(\sqrt3\): \(\frac{x^2}{2}=512\), поэтому \(x^2=1024\). Так как длина положительна, \(x=32\).

Ответ: 32.