2) Побудуйте дві перпендикулярні площини а і в A) (1 б) Побудуйте а ∈ α, b ∈ β такі, що a || b Б) (1 б) Побудуйте m ∈ α, n ∈ β такі, що m ⊥ n В) (1 б) Побудуйте k ∈ α, l ∈ β такі, що k ⊥ l

2. Побудова перпендикулярних площин:

Щоб побудувати дві перпендикулярні площини \( \alpha \) і \( \beta \), можна провести площину \( \alpha \), а потім провести площину \( \beta \) так, щоб вона містила пряму, перпендикулярну до \( \alpha \).

A) Побудова паралельних прямих в перпендикулярних площинах:

Проведемо площину \( \alpha \). Візьмемо довільну пряму \( a \) в площині \( \alpha \). Проведемо через пряму \( a \) площину \( \gamma \), яка перпендикулярна до \( \alpha \). Далі, в площині \( \alpha \) проведемо пряму \( b \) паралельно до лінії перетину \( \alpha \) і \( \gamma \). Тоді \( a \parallel b \), причому \( a \in \alpha \) і \( b \in \beta \) (якщо \( \beta = \gamma \)).

Б) Побудова перпендикулярних прямих в перпендикулярних площинах:

Нехай \( \alpha \) і \( \beta \) – перпендикулярні площини. Нехай \( l \) – лінія їх перетину. Проведемо в площині \( \alpha \) пряму \( m \), яка перпендикулярна до \( l \). Проведемо в площині \( \beta \) пряму \( n \), яка перпендикулярна до \( l \). Тоді \( m \perp l \) і \( n \perp l \).

Примітка: Таке розташування прямих \( m \) і \( n \) не гарантує їх перпендикулярність. Щоб \( m \perp n \), одна з прямих (наприклад, \( m \)) має бути перпендикулярною до площини \( \beta \) (якщо \( m \in \alpha \) і \( \alpha \perp \beta \)).

В) Побудова перпендикулярних прямих в перпендикулярних площинах:

Нехай \( \alpha \) і \( \beta \) – перпендикулярні площини, \( l \) – їх лінія перетину. Проведемо в площині \( \alpha \) пряму \( k \), яка перпендикулярна до \( l \). Проведемо в площині \( \beta \) пряму \( n \), яка перпендикулярна до \( l \). Якщо \( k \) також перпендикулярна до площини \( \beta \), то \( k \perp n \).

Більш коректне формулювання для пункту В:

Нехай \( \alpha \) і \( \beta \) – перпендикулярні площини, \( l \) – їх лінія перетину. Проведемо через точку \( P \) на \( l \) в площині \( \alpha \) пряму \( k \), так що \( k \perp l \). Проведемо через ту ж точку \( P \) в площині \( \beta \) пряму \( n \), так що \( n \perp l \). Тоді \( \angle(k, n) = \angle ACB \) (лінійний кут двогранного кута), і він не обов'язково дорівнює \( 90^{\circ} \).

Для того, щоб \( k \perp n \), потрібно, щоб одна з прямих була перпендикулярна до площини, в якій лежить інша пряма. Наприклад, якщо \( k \perp \beta \), то \( k \perp n \).