4) (3 б) Увага! Дане завдання повинно містити детальне розв'язання. ABC – прямокутний трикутник, ∠A = 90°. Знайдіть відстань від точки В до площини а, якщо кут між площиною а і площиною трикутника АВС дорівнює 30°, AB = 5 см, АС ∈ α.

4. Знаходження відстані від точки до площини

Дано:

• \( \triangle ABC \) – прямокутний, \( \angle A = 90^{\circ} \).
• \( AC \in \alpha \).
• \( AB = 5 \) см.
• Кут між площиною \( \alpha \) і площиною \( \triangle ABC \) дорівнює \( 30^{\circ} \).

Знайти: Відстань від точки \( B \) до площини \( \alpha \) (позначимо її \( h \)).

Розв'язання:

1. Оскільки \( AC \in \alpha \) і \( AC \) лежить у площині \( \triangle ABC \), то \( AC \) є лінією перетину площин \( \alpha \) і площини \( \triangle ABC \).

2. Відстанню від точки \( B \) до площини \( \alpha \) буде довжина перпендикуляра, опущеного з точки \( B \) на площину \( \alpha \). Позначимо основу цього перпендикуляра як \( H \). Тоді \( BH = h \).

3. Оскільки \( \triangle ABC \) – прямокутний з \( \angle A = 90^{\circ} \), то \( AB \perp AC \).

4. За умовою, кут між площинами \( \alpha \) і \( \triangle ABC \) дорівнює \( 30^{\circ} \). Цей кут є лінійним кутом двогранного кута.

5. Щоб знайти лінійний кут, нам потрібні два перпендикуляри до лінії перетину \( AC \), проведені з однієї точки в різних площинах. Один з них – \( AB \) (оскільки \( AB \perp AC \) і \( AB \) лежить у площині \( \triangle ABC \) ).

6. Опустимо з точки \( B \) перпендикуляр \( BH \) на площину \( \alpha \). Тоді \( BH \perp \alpha \).

7. Розглянемо трикутник \( ABH \). Оскільки \( BH \perp \alpha \) і \( AH \in \alpha \), то \( BH \perp AH \). Отже, \( \triangle ABH \) – прямокутний трикутник з прямим кутом \( \angle BHA = 90^{\circ} \).

8. Кут між площинами – це кут між прямими, перпендикулярними до лінії перетину \( AC \). Ми маємо \( AB \perp AC \) (у площині \( \triangle ABC \) ). Якщо \( BH \perp \alpha \), то \( BH \perp AC \) (якщо \( AC \) лежить у \( \alpha \)).

9. Тоді \( \angle BAH \) є лінійним кутом двогранного кута. За умовою, \( \angle BAH = 30^{\circ} \).

10. У прямокутному трикутнику \( ABH \) катет \( BH \) (шукана відстань) лежить навпроти кута \( \angle BAH \).

11. Застосуємо співвідношення в прямокутному трикутнику:

\[ \sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB} \]

\[ BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) \]

\[ BH = 5 \text{ см} \cdot \sin(30^{\circ}) \]

\[ BH = 5 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} \]

\[ BH = 2.5 \text{ см} \]

Відповідь: Відстань від точки В до площини α дорівнює 2,5 см.