3) (3 б) Через вершину B прямокутника ABCD проходит перпендикуляр MB. A) (1,5 б) Виконайте побудову до завдання. Б) (1,5 б) Доведіть перпендикулярність площин MBC і ABC.

3. Перпендикулярність площин

A) Побудова:

1. Дано прямокутник \( ABCD \).

2. Через вершину \( B \) проведено пряму \( MB \), яка перпендикулярна до площини прямокутника \( ABCD \) (тобто \( MB \perp AB \) і \( MB \perp BC \)).

3. Побудовано площину \( MBC \).

Б) Доведення перпендикулярності площин MBC і ABC:

Дано: \( ABCD \) – прямокутник, \( MB \perp \text{площині } ABCD \).

Довести: \( MBC \perp ABC \).

Доведення:

1. За умовою, \( MB \perp \text{площині } ABCD \).
2. З означення перпендикулярності прямої і площини випливає, що \( MB \) перпендикулярна до будь-якої прямої, що проходить через точку \( B \) в площині \( ABCD \).
3. Зокрема, \( MB \perp BC \) (оскільки \( BC \) – сторона прямокутника \( ABCD \)).
4. З того, що \( ABCD \) – прямокутник, випливає, що \( AB \perp BC \).
5. Розглянемо площини \( MBC \) і \( ABC \).
6. Пряма \( BC \) є лінією їх перетину.
7. Ми маємо дві прямі \( MB \) і \( AB \), які лежать у площині \( ABC \) (так як \( AB \) є частиною цієї площини) і перпендикулярні до лінії перетину \( BC \) в точці \( B \).
8. Отже, \( \angle MBA \) є лінійним кутом двогранного кута між площинами \( MBC \) і \( ABC \).
9. Оскільки \( MB \perp \text{площині } ABCD \), то \( MB \perp AB \).
10. Таким чином, \( \angle MBA = 90^{\circ} \).
11. За означенням перпендикулярності площин, якщо лінійний кут двогранного кута дорівнює \( 90^{\circ} \), то площини є перпендикулярними.

Отже, площина \( MBC \) перпендикулярна до площини \( ABC \).