2. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}$ и определите, при каких значениях…$ Фото задания

2. Постройте график функции $y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

График: при $x\ge2$ это ветвь параболы, при $x<2$ — луч прямой.

Для прямой части при $x<2$ значения удовлетворяют $y>5$, причём каждому такому уровню соответствует одна точка. Парабола на $x\ge2$ имеет вершину $(3;6)$, а при $x=2$ принимает значение $5$.

При $m<5$ парабола пересекает уровень в двух точках, а прямая — ни в одной. При $m=5$ имеется одна точка на параболе и одна на прямой (при $x=2\ne x<2$); итого две. При $5<m<6$ есть по одной точке на каждой части, итого две. При $m=6$ парабола касается уровня в вершине и прямая даёт ещё одну точку, итого две. При $m>6$ остаётся только одно пересечение с прямой.

Ответ: $m\le6$.

2. Постройте график функции \(y=\begin{cases}-x^2+6x-3,&x\ge2,\\-x+7,&x<2.\end{cases}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: