4. Постройте график функции \(y=\frac{|x|-1}{|x|-x^2}\). Определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=kx\) не имеет с графиком общих точек.

Разберём функцию по знаку \(x\). При \(x>0\): \(y=\frac{x-1}{x-x^2}=\frac1x\), если \(x\ne1\). При \(x<0\): \(y=\frac{-x-1}{-x-x^2}=\frac1x\), если \(x\ne-1\). При \(x=0\) знаменатель равен нулю, а при \(x=\pm1\) исходная дробь также не определена. Следовательно, график — гипербола \(y=1/x\) с выколотыми точками \((1;1)\) и \((-1;-1)\).

Пересечение с \(y=kx\) требует \(1/x=kx\), то есть \(kx^2=1\). При \(k\le0\) решений нет. При \(k>0\) возникают \(x=\pm1/\sqrt{k}\), но при \(k=1\) обе точки исключены из графика; при остальных положительных \(k\) хотя бы одна допустимая точка пересечения есть.

Ответ: \(k\le0\) или \(k=1\).