2. Постройте график функции y = x² − 2x − 3. Используя график функции, найдите: а) наименьшее значение функции; б) значения аргумента, при которых значение функции равно 5; в) значения x, при которых функция принимает отрицательные значения; г) промежутки возрастания функции.

Выделим полный квадрат: \(y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4\). Парабола направлена вверх, её вершина — \((1;-4)\), а ось симметрии — \(x=1\).

а) Минимум достигается в вершине: \(y_{\min}=-4\).

б) Приравняем функцию к 5: \((x-1)^2-4=5\), поэтому \((x-1)^2=9\) и \(x=-2\) или \(x=4\).

в) Нули функции: \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0\), откуда \(x=-1\) и \(x=3\). Парабола ниже оси \(x\) между корнями, поэтому функция отрицательна при \(-1<x<3\).

г) До вершины при \(x=1\) значения функции убывают, после вершины возрастают. Промежуток возрастания: \([1; +\infty)\).