№ 2. Постройте график функции y = x² − 4x − 5. Используя график, найдите: а) значение y при x = 1; б) значения x, при которых y = 3; в) нули функции; г) промежутки, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения; д) промежуток возрастания функции.

Приведём функцию к виду с выделенным квадратом: \(y=x^2-4x-5=(x-2)^2-9\). Это парабола с ветвями вверх и вершиной \((2;-9)\).

1. При \(x=1\): \(y(1)=1-4-5=-8\).
2. Если \(y=3\), то \(x^2-4x-5=3\), откуда \(x^2-4x-8=0\). Поэтому \(x=\frac{4\pm\sqrt{16+32}}{2}=2\pm2\sqrt3\).
3. Нули функции: \(x^2-4x-5=(x-5)(x+1)=0\), значит \(x=-1\) и \(x=5\).
4. Парабола направлена вверх и пересекает ось \(x\) в точках \(-1\) и \(5\). Следовательно, функция положительна на \((-\infty;-1)\cup(5;+\infty)\), отрицательна на \((-1;5)\).
5. Ветви параболы справа от вершины поднимаются, поэтому функция возрастает на \((2;+\infty)\).

Ответ: а) −8; б) \(x=2\pm2\sqrt3\); в) −1 и 5; г) положительна на \((-\infty;-1)\cup(5;+\infty)\), отрицательна на \((-1;5)\); д) возрастает на \((2;+\infty)\).