№ 3. Не выполняя построения графиков, определите, пересекаются ли парабола y = x² − 3x + 1 и прямая y = 4x − 4. Если пересекаются, найдите координаты точек пересечения.

Приравняем выражения для \(y\): \(x^2-3x+1=4x-4\), откуда \(x^2-7x+5=0\).

Дискриминант \(D=49-20=29>0\), поэтому графики пересекаются в двух точках. Абсциссы: \(x_1=\frac{7-\sqrt{29}}{2}\), \(x_2=\frac{7+\sqrt{29}}{2}\).

Подставим найденные значения в уравнение прямой \(y=4x-4\): получаем соответственно \(y_1=10-2\sqrt{29}\) и \(y_2=10+2\sqrt{29}\).

Ответ: графики пересекаются в точках \(\left(\frac{7-\sqrt{29}}{2};10-2\sqrt{29}\right)\) и \(\left(\frac{7+\sqrt{29}}{2};10+2\sqrt{29}\right)\).