2. Постройте график функции y = x² − 8x + 13. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = 1,5; б) значения x, при которых y = 2; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) промежуток, в котором функция возрастает.

Приведём функцию к виду, удобному для построения: \(y=x^2-8x+13=(x-4)^2-3\). Это парабола с вершиной (4; −3), ветви направлены вверх, ось симметрии — x = 4.

Для построения используем вершину и симметричные точки: (4; −3), (3; −2), (5; −2), (2; 1), (6; 1), (0; 13), (8; 13).

1. Подставим x = 1,5: \(y=1.5^2-8\cdot1.5+13=2.25-12+13=3.25\).

2. Решим уравнение \((x-4)^2-3=2\): \((x-4)^2=5\), поэтому \(x=4\pm\sqrt5\).

3. Нули: \((x-4)^2-3=0\), откуда \(x=4\pm\sqrt3\). Парабола направлена вверх, поэтому \(y>0\) при \(x<4-\sqrt3\) или \(x>4+\sqrt3\), а \(y<0\) при \(4-\sqrt3<x<4+\sqrt3\).

4. До вершины функция убывает, после вершины возрастает. Следовательно, она возрастает при \(x\in(4; +\infty)\).

Ответ: а) y = 3,25; б) x = 4 − √5 и x = 4 + √5; в) нули 4 − √3 и 4 + √3, y > 0 вне промежутка между ними, y < 0 внутри него; г) (4; +∞).