2. Постройте графики функций: y = −x² + 6x − 5; y = 2x² − 8x + 6. Найдите по графику: а) точки пересечения графика с осями координат; б) нули функции, промежутки, в которых y > 0 и y < 0; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наименьшее и наибольшее значения функции.

1) y = −x² + 6x − 5

Представим функцию в виде y = −(x − 3)² + 4. Значит, вершина параболы — (3; 4), ветви направлены вниз, ось симметрии — x = 3.

Пересечение с осью Oy: при x = 0 получаем y = −5, точка (0; −5). Нули: −x² + 6x − 5 = 0, откуда x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5) = 0; точки пересечения с Ox — (1; 0) и (5; 0).

Парабола направлена вниз и пересекает ось Ox в точках 1 и 5, поэтому y > 0 при x ∈ (1; 5), а y < 0 при x ∈ (−∞; 1) ∪ (5; +∞). До вершины функция возрастает, после вершины убывает. Наибольшее значение равно 4 при x = 3; наименьшего значения нет.

2) y = 2x² − 8x + 6

Преобразуем: y = 2(x − 2)² − 2. Вершина — (2; −2), ось симметрии — x = 2, ветви направлены вверх.

Пересечение с Oy: (0; 6). Нули: 2x² − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3) = 0, поэтому пересечения с Ox — (1; 0) и (3; 0).

Функция положительна при x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞), отрицательна при x ∈ (1; 3). Убывает на (−∞; 2), возрастает на (2; +∞). Наименьшее значение равно −2 при x = 2; наибольшего значения нет.