2. При каких значениях x выражение (x³ + x + 2)/(x² + 1) является целым?

Рассматриваем целые значения \(x\), как предполагает тема задания.

1. Выделим в числителе слагаемое, кратное знаменателю: \(x^3+x+2=x(x^2+1)+2\).

2. Тогда \(\dfrac{x^3+x+2}{x^2+1}=x+\dfrac{2}{x^2+1}\). Поскольку \(x\) — целое число, всё выражение будет целым тогда и только тогда, когда \(x^2+1\) делит 2.

3. Так как \(x^2+1\geq 1\), возможны значения \(x^2+1=1\) или \(x^2+1=2\). Отсюда \(x=0\) или \(x=\pm1\).

Ответ: \(x=-1,\ 0,\ 1\).