4. Докажите, что если целые числа a и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю, то число ab − 1 делится на 3.

Если числа \(a\) и \(b\) дают при делении на 3 одинаковые ненулевые остатки, то оба сравнимы по модулю 3 либо с 1, либо с 2. В обоих случаях \(ab\equiv 1\pmod 3\): при остатках 1 произведение имеет остаток 1, а при остатках 2 — остаток 4, то есть тоже 1.

Значит, \(ab-1\equiv 0\pmod 3\), поэтому \(ab-1\) делится на 3.