5. Докажите, что при любых целых a и b значение выражения ab(a² − b²) делится на 6.

Разложим разность квадратов: \(ab(a^2-b^2)=ab(a-b)(a+b)\).

Докажем делимость на 2. Если хотя бы одно из чисел \(a,b\) чётное, чётно и произведение \(ab\). Если оба нечётные, то разность \(a-b\) чётна. Значит, всё выражение делится на 2.

Докажем делимость на 3. Если одно из чисел \(a,b\) делится на 3, утверждение очевидно. Иначе остатки \(a\) и \(b\) при делении на 3 равны 1 или 2. При одинаковых остатках на 3 делится \(a-b\); при разных — \(a+b\). Поэтому произведение делится на 3.

Числа 2 и 3 взаимно просты, значит, выражение делится на их произведение 6.