2. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 88% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 92% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Решение:

Обозначим события:

• \(B\) — пациент болен.
• \(\overline{B}\) — пациент не болен.
• \(T\) — тест положительный.
• \(\overline{T}\) — тест отрицательный.

По условию задачи:

• \(P(T|B) = 0,88\) — вероятность положительного теста при наличии заболевания.
• \(P(\overline{T}|\overline{B}) = 0,92\) — вероятность отрицательного теста при отсутствии заболевания.
• \(P(T) = 0,10\) — общая вероятность положительного теста.

Из \(P(\overline{T}|\overline{B}) = 0,92\) следует, что \(P(T|\overline{B}) = 1 - P(\overline{T}|\overline{B}) = 1 - 0,92 = 0,08\) — вероятность ложноположительного теста.

Нужно найти \(P(B|T)\) — вероятность того, что пациент болен, при условии, что тест положительный. Воспользуемся формулой Байеса:

\[ P(B|T) = \frac{P(T|B)P(B)}{P(T)} \]

Нам неизвестна \(P(B)\) — вероятность того, что пациент болен. Однако, мы знаем, что \(P(T) = P(T|B)P(B) + P(T|\overline{B})P(\overline{B})\). Подставим известные значения:

\[ 0,10 = 0,88 \cdot P(B) + 0,08 \cdot (1 - P(B)) \]\[ 0,10 = 0,88 \cdot P(B) + 0,08 - 0,08 \cdot P(B) \]\[ 0,10 - 0,08 = (0,88 - 0,08) \cdot P(B) \]\[ 0,02 = 0,80 \cdot P(B) \]\[ P(B) = \frac{0,02}{0,80} = \frac{2}{80} = \frac{1}{40} = 0,025 \]

Теперь, зная \(P(B)\), найдём \(P(B|T)\):

\[ P(B|T) = \frac{P(T|B)P(B)}{P(T)} = \frac{0,88 \cdot 0,025}{0,10} \]\[ P(B|T) = \frac{0,022}{0,10} = 0,22 \]

Ответ: 0,22