4. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 85% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Question

Вопрос:

Фото задания

4. На фабрике керамической посуды 20% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 85% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Accepted Answer

Решение:

Обозначим события:

\(D\) — тарелка имеет дефект.
\(\overline{D}\) — тарелка не имеет дефектов.
\(K\) — тарелка выявлена при контроле качества.

По условию задачи:

\(P(D) = 0,20\) — вероятность того, что тарелка имеет дефект.
\(P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,20 = 0,80\) — вероятность того, что тарелка не имеет дефектов.
\(P(K|D) = 0,85\) — вероятность того, что дефектная тарелка будет выявлена контролем.

Нам нужно найти вероятность того, что тарелка, поступающая в продажу, не имеет дефектов. Тарелки, поступающие в продажу, — это те, которые не были выявлены при контроле качества. Вероятность того, что дефектная тарелка НЕ будет выявлена контролем: \(P(\overline{K}|D) = 1 - P(K|D) = 1 - 0,85 = 0,15\).

Вероятность того, что тарелка имеет дефект и НЕ была выявлена контролем (т.е. попала в продажу с дефектом):

\[ P(\overline{K} ∩ D) = P(\overline{K}|D)P(D) = 0,15 \cdot 0,20 = 0,03 \]

Вероятность того, что тарелка не имеет дефектов (и, следовательно, не будет выявлена контролем, так как контролю подвергаются именно дефектные тарелки, или же у исправной тарелки нет дефекта, который можно выявить):

\[ P(\overline{D}) = 0,80 \]

Тарелка, купленная при покупке, может быть либо без дефектов, либо с дефектом, но не выявленным контролем. Однако, в условии сказано: "Остальные тарелки поступают в продажу". Это означает, что в продажу поступают тарелки, которые прошли контроль качества. Если тарелка не прошла контроль (выявлен дефект), она не поступает в продажу. Если тарелка прошла контроль, то она либо не имела дефекта, либо дефект не был выявлен.

Рассмотрим, что поступает в продажу:

Тарелки без дефектов: \(P(\overline{D}) = 0,80\).
Тарелки с дефектом, которые НЕ были выявлены контролем: \(P(\overline{K} ∩ D) = 0,03\).

Вероятность того, что тарелка, купленная при покупке, не имеет дефектов, это вероятность того, что мы купим тарелку без дефектов (так как такие тарелки точно идут в продажу).

Если в продажу поступают ВСЕ тарелки, кроме тех, у которых выявлен дефект, то вероятность купить тарелку без дефектов равна вероятности того, что тарелка не имеет дефектов.

Прочитаем условие внимательнее: "При контроле качества продукции выявляется 85% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу."

Это означает, что в продажу не поступают 85% дефектных тарелок. То есть, \(0.85 \times 0.20 = 0.17\) дефектных тарелок отбраковываются.

\(0.20 - 0.17 = 0.03\) дефектных тарелок поступают в продажу.

\(0.80\) тарелок не имеют дефектов и поступают в продажу.

Общее количество тарелок, поступающих в продажу = \(0.03 + 0.80 = 0.83\).

Вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов = \(P(\text{не имеет дефектов} | \text{поступает в продажу}) = \frac{P(\text{не имеет дефектов и поступает в продажу})}{P(\text{поступает в продажу})}\)

\( = \frac{P(\overline{D})}{P(\overline{D}) + P(D ∩ \overline{K})} = \frac{0.80}{0.80 + 0.03} = \frac{0.80}{0.83} \)

\[ \frac{0.80}{0.83} \approx 0.963855... \]

Округляем до сотых: 0,96.

Ответ: 0,96