2) Прямая CD проходит через вершину C треугольника ABC и не лежит в плоскости ABC. E и F — середины отрезков AB и BC. а) Докажите, что CD и EF — скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми CD и EF, если ∠DCA = 60°.

а) Так как E и F — середины сторон AB и BC, EF — средняя линия треугольника ABC, поэтому EF ∥ AC.

Прямая CD пересекает плоскость ABC только в точке C. При этом C не принадлежит EF: EF ∥ AC, а AC и EF — различные прямые в плоскости ABC. Значит, CD и EF не пересекаются.

Если бы CD была параллельна EF, то она была бы параллельна AC. Но через C проходит единственная прямая, параллельная AC, — сама AC; это противоречит условию, что CD не лежит в плоскости ABC. Следовательно, CD и EF не параллельны. Непересекающиеся и непараллельные прямые в пространстве скрещиваются.

б) Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, проведёнными параллельно им. Поскольку EF ∥ AC, угол между CD и EF равен углу между CD и AC, то есть ∠DCA.

Ответ: а) CD и EF скрещиваются; б) 60°.