3) Плоскость α проходит через основание AD трапеции ABCD. M и N — середины боковых сторон трапеции. а) Докажите, что MN ∥ α. б) Найдите AD, если BC = 4 см, MN = 6 см.

а) В трапеции ABCD основания — AD и BC, поэтому отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией и параллелен основаниям: MN ∥ AD. Прямая AD лежит в плоскости α, а MN параллельна AD и не совпадает с ней. Следовательно, MN не пересекает α и параллельна этой плоскости.

б) Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований:

\(MN=\frac{AD+BC}{2}\).

Подставим данные: \(6=\frac{AD+4}{2}\), откуда \(12=AD+4\) и \(AD=8\) см.

Ответ: AD = 8 см.