4) Дан пространственный четырёхугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD равны. Середины сторон этого четырёхугольника соединены последовательно отрезками. а) Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что полученный четырёхугольник — ромб.

а) Обозначим середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно E, F, G, H. Схематический рисунок (пространственный четырёхугольник изображён условной проекцией):

б) По теореме о средней линии треугольника:

1. В треугольнике ABC точки E и F — середины AB и BC, поэтому EF ∥ AC и \(EF=\frac{AC}{2}\).
2. В треугольнике BCD точки F и G — середины BC и CD, поэтому FG ∥ BD и \(FG=\frac{BD}{2}\).
3. Аналогично GH ∥ AC, \(GH=\frac{AC}{2}\), а HE ∥ BD, \(HE=\frac{BD}{2}\).
4. Так как диагонали равны, \(AC=BD\), получаем \(EF=FG=GH=HE\). Четырёхугольник EFGH имеет четыре равные стороны, значит, он является ромбом.