2. Радиусы оснований усеченного конуса 3 и 9, образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите объем усеченного конуса.

Решение:

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2) \), где \( R \) и \( r \) — радиусы оснований, \( h \) — высота.

По условию \( r = 3 \) см, \( R = 9 \) см. Образующая \( l \) наклонена к основанию под углом 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой \( h \), разностью радиусов \( R-r \) и образующей \( l \). Тангенс угла наклона равен отношению высоты к разности радиусов: \( \tan 45^{\circ} = \frac{h}{R-r} \).

1. Найдем высоту \( h \): \( 1 = \frac{h}{9-3} \) \( \Rightarrow h = 6 \) см.
2. Подставим значения в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3}\pi \cdot 6 (9^2 + 9 \cdot 3 + 3^2) \] \[ V = 2\pi (81 + 27 + 9) \] \[ V = 2\pi (117) \] \[ V = 234\pi \] см³.

Ответ: \( 234\pi \) см³.