2. Решить тригонометрическое уравнение методом замены переменной \(2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0\)

Решение:

1. Введём замену: пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \(2y^2 + 3y - 2 = 0\).
2. Решим квадратное уравнение относительно \(y\). Найдём дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \]
3. Найдем корни \(y\): \[ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] \[ y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]
4. Подставим обратно \( \sin x \) вместо \(y\):
• \( \sin x = \frac{1}{2} \). Это возможно, так как \(-1 \le \sin x \le 1\). Общее решение: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• \( \sin x = -2 \). Это невозможно, так как \( \sin x \) не может быть меньше -1.

Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).