3. Решить логарифмическое уравнение \(\log_{\frac{1}{2}} (2x - 1) - \log_{\frac{1}{2}} 16 = 5\)

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \(2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 0.5\).
2. Используем свойство логарифмов \(\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}\): \[ \log_{\frac{1}{2}} \frac{2x - 1}{16} = 5 \]
3. Перейдём от логарифмического уравнения к степенному: \(\frac{2x - 1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^5\).
4. Вычислим степень: \(\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\).
5. Решим полученное уравнение: \[ \frac{2x - 1}{16} = \frac{1}{32} \]
6. Умножим обе части на 32: \(2(2x - 1) = 1 \implies 4x - 2 = 1 \).
7. Решим линейное уравнение: \(4x = 3 \implies x = \frac{3}{4}\).
8. Проверим, удовлетворяет ли найденное значение ОДЗ: \(\frac{3}{4} = 0.75\), что больше 0.5. Значит, \(x = 0.75\) подходит.

Ответ: \( x = \frac{3}{4} \).