4. Решить неравенство \(\left(\frac{1}{4}\right)^{2+3x} < 8^{x-1}\)

Решение:

Чтобы решить неравенство, приведём обе части к одному основанию. Так как \(\frac{1}{4} = (2^{-2})\) и \(8 = 2^3\), основание будет \(2\).

1. Представим обе части неравенства в виде степеней числа 2: \[ (2^{-2})^{2+3x} < (2^3)^{x-1} \]
2. Используем свойство степени \((a^m)^n = a^{m
   }\): \[ 2^{-2(2+3x)} < 2^{3(x-1)} \] \[ 2^{-4-6x} < 2^{3x-3} \]
3. Поскольку основание \(2 > 1\), показательная функция возрастает. Приравниваем показатели степеней: \[ -4 - 6x < 3x - 3 \]
4. Решим полученное линейное неравенство: \[ -4 + 3 < 3x + 6x \] \[ -1 < 9x \] \[ x > \frac{-1}{9} \]

Ответ: \( x > -\frac{1}{9} \).