2) Решить уравнение: a) (0,1)²ˣ⁻³ = 10; б) 9ˣ - 7·3ˣ - 18 = 0.

Привет! Давай решим эти уравнения по порядку.

а) Решаем уравнение (0,1)²ˣ⁻³ = 10

1. Представим числа в виде степеней с одинаковым основанием: Нам удобно использовать основание 10. Мы знаем, что 0,1 = 1/10 = 10⁻¹.
2. Подставим в уравнение: (10⁻¹)²ˣ⁻³ = 10¹.
3. Используем свойство степени: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Получаем: 10⁽⁻¹⁾⁽²ˣ⁻³⁾ = 10¹.
4. Упростим показатель: 10⁻²ˣ⁺³ = 10¹.
5. Приравниваем показатели: Поскольку основания одинаковые, показатели тоже должны быть равны: -2x + 3 = 1.
6. Решаем линейное уравнение: -2x = 1 - 3; -2x = -2; x = 1.

б) Решаем уравнение 9ˣ - 7·3ˣ - 18 = 0

1. Заметим связь между степенями: Мы видим, что 9ˣ = (3²)ˣ = (3ˣ)².
2. Введем замену переменной: Пусть t = 3ˣ. Тогда наше уравнение примет вид: t² - 7t - 18 = 0.
3. Решаем квадратное уравнение: Найдем дискриминант D = b² - 4ac = (-7)² - 4·1·(-18) = 49 + 72 = 121.
4. Найдем корни: t₁ = (-b + √D) / 2a = (7 + √121) / 2 = (7 + 11) / 2 = 18 / 2 = 9. t₂ = (-b - √D) / 2a = (7 - 11) / 2 = -4 / 2 = -2.
5. Вернемся к замене: У нас два случая:
   • Случай 1: 3ˣ = t₁ = 9. Так как 9 = 3², то 3ˣ = 3². Следовательно, x = 2.
   • Случай 2: 3ˣ = t₂ = -2. Показатель степени не может быть равен отрицательному числу, поэтому этот корень нам не подходит.

Ответ:

• а) x = 1
• б) x = 2