6) Решить уравнение 3ˣ⁺³ + 3ˣ = 5·2ˣ⁺⁴ - 17·2ˣ.

Привет! Давай решим это уравнение.

1. Разобьем степени: Используем свойства степеней aᵐ⁺ⁿ = aᵐ · aⁿ. Левую часть запишем как 3ˣ · 3³ + 3ˣ, а правую как 5 · 2ˣ · 2⁴ - 17 · 2ˣ.
2. Вынесем общие множители за скобки:
   • В левой части общий множитель 3ˣ: 3ˣ(3³ + 1).
   • В правой части общий множитель 2ˣ: 2ˣ(5·2⁴ - 17).
3. Вычислим значения в скобках:
   • 3³ + 1 = 27 + 1 = 28.
   • 5·2⁴ - 17 = 5·16 - 17 = 80 - 17 = 63.
4. Перепишем уравнение: 3ˣ · 28 = 2ˣ · 63.
5. Сгруппируем степени с одинаковыми показателями: Разделим обе части на 2ˣ (так как 2ˣ всегда больше 0) и на 28 (так как 28 ≠ 0): 3ˣ/2ˣ = 63/28.
6. Упростим дроби:
   • 3ˣ/2ˣ = (3/2)ˣ.
   • 63/28 = (9·7)/(4·7) = 9/4.
7. Перепишем уравнение: (3/2)ˣ = 9/4.
8. Приведем правую часть к тому же основанию: Мы видим, что 9/4 = (3/2)².
9. Приравняем показатели: (3/2)ˣ = (3/2)². Следовательно, x = 2.

Ответ: x = 2