2. Решить уравнение: а) \(\log_{25}x=\frac12\); б) \(\log_x1000=3\); в) \(\log_5(3x-4)=\log_5(12-5x)\); г) \(\log_3(x^2+3x-7)=1\); д) \(\lg(x-1)+\lg(x+1)=\lg(9x+9)\).

а) По определению логарифма \(x=25^{1/2}=5\).

б) Область допустимых значений: \(x>0\), \(x\ne1\). Тогда \(\log_x1000=3\) означает \(x^3=1000\), откуда \(x=10\). Это значение удовлетворяет ОДЗ.

в) Аргументы логарифмов должны быть положительными. При одинаковых основаниях равны аргументы: \(3x-4=12-5x\), поэтому \(8x=16\) и \(x=2\). При этом оба аргумента равны 2.

г) По определению логарифма \(x^2+3x-7=3\). Получаем \(x^2+3x-10=0\), откуда \((x+5)(x-2)=0\). Оба корня подходят: при каждом аргумент логарифма равен 3.

д) ОДЗ: \(x-1>0\), то есть \(x>1\). Объединим логарифмы: \(\lg((x-1)(x+1))=\lg(9x+9)\), значит, \(x^2-1=9x+9\). Тогда \(x^2-9x-10=0\), корни \(10\) и \(-1\). ОДЗ удовлетворяет только \(x=10\).

Ответ: а) 5; б) 10; в) 2; г) −5 и 2; д) 10.