№ 2 Решить уравнения: а) 54-x=25; б) log7(x + 21) = 2; в) √x2 – 8x – 4 = 4; г) 2sin2x + 5 sin x - 3 = 0.

Решение:

а) 5^4-x = 25

1. Представим 25 как степень 5: \( 5^{4-x} = 5^2 \).
2. Приравниваем показатели степеней: \( 4-x = 2 \).
3. Решаем линейное уравнение: \( x = 4 - 2 = 2 \).

б) log₇(x + 21) = 2

1. Переходим от логарифмического уравнения к показательному: \( x + 21 = 7^2 \).
2. Вычисляем: \( x + 21 = 49 \).
3. Решаем линейное уравнение: \( x = 49 - 21 = 28 \).
4. Проверка: \( x+21 = 28+21 = 49 > 0 \), условие выполнено.

в) \( \sqrt{x^2 - 8x - 4} = 4 \)

1. Возводим обе части уравнения в квадрат: \( x^2 - 8x - 4 = 4^2 \).
2. Получаем: \( x^2 - 8x - 4 = 16 \).
3. Переносим всё в одну сторону: \( x^2 - 8x - 20 = 0 \).
4. Находим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 \).
5. Находим корни: \( x_1 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10 \) и \( x_2 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = -2 \).
6. Проверяем корни, подставляя их в исходное уравнение.
7. Для \( x = 10 \): \( \sqrt{10^2 - 8 \cdot 10 - 4} = \sqrt{100 - 80 - 4} = \sqrt{16} = 4 \). Подходит.
8. Для \( x = -2 \): \( \sqrt{(-2)^2 - 8 \cdot (-2) - 4} = \sqrt{4 + 16 - 4} = \sqrt{16} = 4 \). Подходит.

г) 2sin²x + 5 sin x - 3 = 0

1. Сделаем замену: пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид: \( 2y^2 + 5y - 3 = 0 \).
2. Найдём дискриминант: \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 \).
3. Найдём корни для \( y \): \( y_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) и \( y_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \).
4. Вернёмся к замене: \( \sin x = \frac{1}{2} \) или \( \sin x = -3 \).
5. Второе уравнение \( \sin x = -3 \) не имеет решений, так как \( -1 ≤ \sin x ≤ 1 \).
6. Решаем \( \sin x = \frac{1}{2} \). Общее решение: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n ∈ \mathbb{Z} \).