№ 7 Тело движется по прямой со скоростью, определяемой формулой V= t³ - 3t + 4 (м/с), где t – время в секундах. Какой путь пройдёт тело за 3 с от начала движения?

Решение:

Путь, пройденный телом, равен определённому интегралу от функции скорости по времени.

\( S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt \)

1. В данном случае \( v(t) = t^3 - 3t + 4 \), \( t_1 = 0 \) (начало движения) и \( t_2 = 3 \) с.
2. Найдём первообразную от функции скорости:
3. \( S = \int_{0}^{3} (t^3 - 3t + 4) dt = \left[ \frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2} + 4t \right]_0^3 \).
4. Применим формулу Ньютона-Лейбница:
5. \( S = \left( \frac{3^4}{4} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 4 \cdot 3 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 4 \cdot 0 \right) \).
6. \( S = \left( \frac{81}{4} - \frac{3 \cdot 9}{2} + 12 \right) - (0) \).
7. \( S = \frac{81}{4} - \frac{27}{2} + 12 \).
8. Приведём к общему знаменателю 4:
9. \( S = \frac{81}{4} - \frac{54}{4} + \frac{48}{4} = \frac{81 - 54 + 48}{4} = \frac{27 + 48}{4} = \frac{75}{4} \).
10. \( S = 18.75 \) м.

Ответ: 18.75 м.