2) Решите неравенство: а) $(x+5)(x-1)(x+8)>0$; б) $\frac{(x+1)(x-3)(x-9)}{x-7}<0$; в) $(x-5)(x+1)^2(x+3)>0$; г) $\frac{8x^2-6x+1}{(2x+1)(x-2)}\le0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2) Решите неравенство: а) $(x+5)(x-1)(x+8)>0$; б) $\frac{(x+1)(x-3)(x-9)}{x-7}<0$; в) $(x-5)(x+1)^2(x+3)>0$; г)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Нули множителей: $-8,-5,1$. Знак произведения меняется при прохождении каждого простого корня; при больших положительных $x$ оно положительно. С учётом строгого неравенства:
Ответ: $(-8,-5)\cup(1,+\infty)$.
б) Критические точки: нули числителя $-1,3,9$ и точка разрыва $7$, которая исключается. Проверка знаков на промежутках даёт отрицательное значение на $(-1,3)$ и $(7,9)$.
Ответ: $(-1,3)\cup(7,9)$.
в) Запишем множитель $(x+1)^2$, который положителен при $x\ne-1$ и равен нулю при $x=-1$. Для строгого неравенства остаётся требование $(x-5)(x+3)>0$, причём $x=-1$ также не подходит. Получаем:
Ответ: $( -\infty,-3)\cup(5,+\infty)$.
г) Разложим числитель: $8x^2-6x+1=(4x-1)(2x-1)$. Критические точки: $-\frac12,\frac14,\frac12,2$; точки $-\frac12$ и $2$ запрещены, а нули числителя включаются. По знакам на промежутках:
Ответ: $(-\frac12,\frac14]\cup[\frac12,2)$.

2) Решите неравенство: а) \((x+5)(x-1)(x+8)>0\); б) \(\frac{(x+1)(x-3)(x-9)}{x-7}<0\); в) \((x-5)(x+1)^2(x+3)>0\); г) \(\frac{8x^2-6x+1}{(2x+1)(x-2)}\le0\).