2. Решите неравенство: \(\log_5 (3x+1) < 2\)

Решение:

Чтобы решить логарифмическое неравенство, нужно учесть два условия:

1. ОДЗ (область допустимых значений): Аргумент логарифма должен быть больше нуля. \(3x + 1 > 0\)
2. Преобразуем неравенство: Так как основание логарифма \(5 > 1\), при переходе к показательной форме знак неравенства сохраняется.

1. ОДЗ:

\[ 3x + 1 > 0 \]

\[ 3x > -1 \]

\[ x > -\frac{1}{3} \]

2. Преобразуем неравенство:

\[ \log_5 (3x+1) < 2 \]

\[ 3x + 1 < 5^2 \]

\[ 3x + 1 < 25 \]

\[ 3x < 24 \]

\[ x < 8 \]

3. Найдем пересечение ОДЗ и полученного решения:

У нас есть два условия: \( x > -\frac{1}{3} \) и \( x < 8 \). Объединяя их, получаем:

\[ -\frac{1}{3} < x < 8 \]

Ответ: \( \left( -\frac{1}{3}; 8 \right) \)