4. Постройте график функции \(y = x^2 – 6\). Укажите ее области определения и значений, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения.

Решение:

Данная функция \(y = x^2 – 6\) является квадратичной. Ее график — парабола.

1. Область определения (D(y)):

Квадратичная функция определена для всех действительных чисел.

\[ D(y) = (-\infty; +\infty) \]

2. Область значений (E(y)):

Вершина параболы находится в точке \((0; -6)\). Ветви параболы направлены вверх. Следовательно, наименьшее значение функции равно -6, а наибольшего не существует.

\[ E(y) = [-6; +\infty) \]

3. Промежутки возрастания и убывания:

Парабола убывает при \(x < 0\) и возрастает при \(x > 0\).

Промежуток убывания: \((-\infty; 0)\)

Промежуток возрастания: \((0; +\infty)\)

4. Наибольшее и наименьшее значения:

Наименьшее значение: \(y_{min} = -6\) (достигается при \(x=0\)).

Наибольшего значения не существует.

5. Построение графика:

Найдем несколько точек:

• При \(x = 0, y = -6\) (вершина параболы)
• При \(x = 1, y = 1^2 - 6 = -5\)
• При \(x = -1, y = (-1)^2 - 6 = -5\)
• При \(x = 2, y = 2^2 - 6 = -2\)
• При \(x = -2, y = (-2)^2 - 6 = -2\)
• При \(x = 3, y = 3^2 - 6 = 3\)
• При \(x = -3, y = (-3)^2 - 6 = 3\)

Ответ:

• Область определения: \((-\infty; +\infty)\)
• Область значений: \([-6; +\infty)\)
• Промежуток убывания: \((-\infty; 0)\)
• Промежуток возрастания: \((0; +\infty)\)
• Наименьшее значение: \(-6\)
• Наибольшего значения не существует.