3. Найти значения других трех основных тригонометрических функций, если: \(\operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12}, \ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)

Решение:

Угол \(\alpha\) находится во второй четверти (так как \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)). Во второй четверти \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha < 0\), \(\operatorname{ctg} \alpha < 0\).

1. Найдем \(\operatorname{ctg} \alpha\):

Используем формулу \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}\).

\[ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5} \]

2. Найдем \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\):

Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) и формулу \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).

Из \(\operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12}\) следует \(\sin \alpha = -\frac{5}{12} \cos \alpha\).

Подставим это в основное тригонометрическое тождество:

\[ \left(-\frac{5}{12} \cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{25}{144} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \cos^2 \alpha \left(\frac{25}{144} + 1\right) = 1 \]

\[ \cos^2 \alpha \left(\frac{25 + 144}{144}\right) = 1 \]

\[ \cos^2 \alpha \left(\frac{169}{144}\right) = 1 \]

\[ \cos^2 \alpha = \frac{144}{169} \]

Так как \(\alpha\) во второй четверти, \(\cos \alpha < 0\).

\[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13} \]

Теперь найдем \(\sin \alpha\):

\[ \sin \alpha = -\frac{5}{12} \cos \alpha = -\frac{5}{12} \left(-\frac{12}{13}\right) = \frac{5}{13} \]

Результаты:

• \(\sin \alpha = \frac{5}{13}\)
• \(\cos \alpha = -\frac{12}{13}\)
• \(\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{12}{5}\)

Ответ: \(\sin \alpha = \frac{5}{13}, \cos \alpha = -\frac{12}{13}, \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{12}{5}\)