2. Решите систему уравнений и запишите какие-либо три решения этой системы: $$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2}, \\ \sin x + \sin y = -\sqrt{2} \end{cases}$$

Решение:

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} \\ \sin x + \sin y = -\sqrt{2} \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = \frac{\pi}{2} - x \).

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( \sin x + \sin(\frac{\pi}{2} - x) = -\sqrt{2} \)

Используя тригонометрическое тождество \( \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x \), получим:

\( \sin x + \cos x = -\sqrt{2} \)

Это уравнение вида \( a \sin x + b \cos x = c \). Для его решения разделим обе части на \( \sqrt{a^2 + b^2} \). В данном случае \( a=1 \) и \( b=1 \), поэтому \( \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).

\( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = -1 \)

Заменим \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) на \( \cos(\frac{\pi}{4}) \) и \( \sin(\frac{\pi}{4}) \):

\( \cos(\frac{\pi}{4}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{4}) \cos x = -1 \)

Используя формулу синуса суммы \( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \), получим:

\( \sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1 \)

Решим это тригонометрическое уравнение:

\( x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

\( x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = \frac{6\pi - \pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \)

Теперь найдем соответствующие значения \( y \) из первого уравнения \( y = \frac{\pi}{2} - x \):

\( y = \frac{\pi}{2} - (\frac{5\pi}{4} + 2\pi k) \)

\( y = \frac{2\pi - 5\pi}{4} - 2\pi k \)

\( y = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi k \)

Для того чтобы получить три решения, подставим различные целые значения \( k \).

Пример 1: k = 0

\( x_1 = \frac{5\pi}{4} \)

\( y_1 = -\frac{3\pi}{4} \)

Проверка: \( x_1 + y_1 = \frac{5\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \). \( \sin(\frac{5\pi}{4}) + \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2} \).

Пример 2: k = 1

\( x_2 = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi + 8\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} \)

\( y_2 = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = \frac{-3\pi - 8\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4} \)

Проверка: \( x_2 + y_2 = \frac{13\pi}{4} - \frac{11\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \). \( \sin(\frac{13\pi}{4}) + \sin(-\frac{11\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{4}) + \sin(-\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \).

Пример 3: k = -1

\( x_3 = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi - 8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \)

\( y_3 = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi(-1) = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{-3\pi + 8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \)

Проверка: \( x_3 + y_3 = -\frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \). \( \sin(-\frac{3\pi}{4}) + \sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \).

Ответ: Три решения системы: \( (\frac{5\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4}) \), \( (\frac{13\pi}{4}; -\frac{11\pi}{4}) \), \( (-\frac{3\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}) \).