5. В какой точке кривой y = e^3x - 1 касательная параллельна прямой y = 3x - 5?

Решение:

Для того чтобы касательная к кривой \( y = e^{3x} - 1 \) была параллельна прямой \( y = 3x - 5 \), их угловые коэффициенты должны быть равны.

Угловой коэффициент прямой \( y = 3x - 5 \) равен \( 3 \).

Найдем производную функции \( y = e^{3x} - 1 \), которая равна угловому коэффициенту касательной в любой точке:

\( y' = (e^{3x} - 1)' \)

Используем правило дифференцирования сложной функции \( (e^{u})' = e^u · u' \), где \( u = 3x \), \( u' = 3 \).

\( y' = e^{3x} · 3 - 0 = 3e^{3x} \)

Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту прямой:

\( 3e^{3x} = 3 \)

Разделим обе части на \( 3 \):

\( e^{3x} = 1 \)

Чтобы решить это уравнение, вспомним, что любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Следовательно:

\( 3x = 0 \)

\( x = 0 \)

Теперь найдем соответствующее значение \( y \), подставив \( x = 0 \) в уравнение кривой:

\( y = e^{3 · 0} - 1 = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0 \)

Таким образом, точка, в которой касательная параллельна данной прямой, имеет координаты \( (0; 0) \).

Ответ: В точке \( (0; 0) \).