3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x² - 2x + 8 и y = 5.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя линиями, нужно сначала найти точки их пересечения. Приравняем уравнения:

\( -x^2 - 2x + 8 = 5 \)

Перенесем все члены в одну сторону:

\( -x^2 - 2x + 8 - 5 = 0 \)

\( -x^2 - 2x + 3 = 0 \)

Умножим на -1:

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \). \( \sqrt{D} = 4 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Точки пересечения по оси x: \( x = -3 \) и \( x = 1 \).

Теперь найдем площадь фигуры, используя определенный интеграл. Площадь \( S \) вычисляется по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{низ}) dx \)

В нашем случае \( y_{верх} = -x^2 - 2x + 8 \) (парабола) и \( y_{низ} = 5 \) (прямая), а пределы интегрирования \( a = -3 \) и \( b = 1 \).

\( S = \int_{-3}^{1} ((-x^2 - 2x + 8) - 5) dx \)

\( S = \int_{-3}^{1} (-x^2 - 2x + 3) dx \)

Найдем первообразную:

\( F(x) = -\frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + 3x = -\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \)

Вычислим определенный интеграл:

\( S = F(1) - F(-3) \)

\( F(1) = -\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3(1) = -\frac{1}{3} - 1 + 3 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6-1}{3} = \frac{5}{3} \)

\( F(-3) = -\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 + 3(-3) = -\frac{-27}{3} - 9 - 9 = 9 - 9 - 9 = -9 \)

\( S = \frac{5}{3} - (-9) = \frac{5}{3} + 9 = \frac{5 + 27}{3} = \frac{32}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{32}{3} \) квадратных единиц.