2. Решите системы уравнений способом сложения: a) {40x + 3y = 10, 20x - 7y = 5; б) {33a + 42b = 10, 9a + 14b = 4; в) {10x - 9y = 8, 21y + 15x = 0,5; г) {5x - 2y = 1, 15x - 3y = -3; д) {13x - 12y = 14, 11x - 4 = 18y; е) {9y + 8z = -2, 5z = -4y - 11.

Задание 2. Системы уравнений способом сложения

а)

Дано:

• \( 40x + 3y = 10 \)
• \( 20x - 7y = 5 \)

Решение:

1. Умножим второе уравнение на -2, чтобы коэффициенты при \( x \) стали противоположными: \( -40x + 14y = -10 \).
2. Сложим первое уравнение с измененным вторым: \( (40x + 3y) + (-40x + 14y) = 10 + (-10) \)
3. \( 17y = 0 \)
4. \( y = 0 \)
5. Подставим \( y = 0 \) в первое уравнение: \( 40x + 3(0) = 10 \)
6. \( 40x = 10 \)
7. \( x = \frac{10}{40} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{4}, y = 0 \).

б)

Дано:

• \( 33a + 42b = 10 \)
• \( 9a + 14b = 4 \)

Решение:

1. Умножим второе уравнение на -3, чтобы коэффициенты при \( b \) стали противоположными: \( -27a - 42b = -12 \).
2. Сложим первое уравнение с измененным вторым: \( (33a + 42b) + (-27a - 42b) = 10 + (-12) \)
3. \( 6a = -2 \)
4. \( a = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)
5. Подставим \( a = -\frac{1}{3} \) во второе уравнение: \( 9(-\frac{1}{3}) + 14b = 4 \)
6. \( -3 + 14b = 4 \)
7. \( 14b = 7 \)
8. \( b = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( a = -\frac{1}{3}, b = \frac{1}{2} \).

в)

Дано:

• \( 10x - 9y = 8 \)
• \( 21y + 15x = 0,5 \)

Решение:

1. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:
2. \( 30x - 27y = 24 \)
3. \( 30x + 42y = 1 \)
4. Вычтем из первого уравнения второе: \( (30x - 27y) - (30x + 42y) = 24 - 1 \)
5. \( -69y = 23 \)
6. \( y = \frac{23}{-69} = -\frac{1}{3} \)
7. Подставим \( y = -\frac{1}{3} \) в первое уравнение: \( 10x - 9(-\frac{1}{3}) = 8 \)
8. \( 10x + 3 = 8 \)
9. \( 10x = 5 \)
10. \( x = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{3} \).

г)

Дано:

• \( 5x - 2y = 1 \)
• \( 15x - 3y = -3 \)

Решение:

1. Умножим первое уравнение на -3, чтобы коэффициенты при \( x \) стали противоположными: \( -15x + 6y = -3 \).
2. Сложим измененное первое уравнение со вторым: \( (-15x + 6y) + (15x - 3y) = -3 + (-3) \)
3. \( 3y = -6 \)
4. \( y = -2 \)
5. Подставим \( y = -2 \) в первое уравнение: \( 5x - 2(-2) = 1 \)
6. \( 5x + 4 = 1 \)
7. \( 5x = -3 \)
8. \( x = -\frac{3}{5} \)

Ответ: \( x = -\frac{3}{5}, y = -2 \).

д)

Дано:

• \( 13x - 12y = 14 \)
• \( 11x - 4 = 18y \)

Решение:

1. Перепишем второе уравнение: \( 11x - 18y = 4 \).
2. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:
3. \( 39x - 36y = 42 \)
4. \( 22x - 36y = 8 \)
5. Вычтем из первого уравнения второе: \( (39x - 36y) - (22x - 36y) = 42 - 8 \)
6. \( 17x = 34 \)
7. \( x = 2 \)
8. Подставим \( x = 2 \) во второе уравнение: \( 11(2) - 18y = 4 \)
9. \( 22 - 18y = 4 \)
10. \( -18y = 4 - 22 \)
11. \( -18y = -18 \)
12. \( y = 1 \)

Ответ: \( x = 2, y = 1 \).

е)

Дано:

• \( 9y + 8z = -2 \)
• \( 5z = -4y - 11 \)

Решение:

1. Перепишем второе уравнение: \( 4y + 5z = -11 \).
2. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -8, чтобы коэффициенты при \( z \) стали противоположными:
3. \( 45y + 40z = -10 \)
4. \( -32y - 40z = 88 \)
5. Сложим два полученных уравнения: \( (45y + 40z) + (-32y - 40z) = -10 + 88 \)
6. \( 13y = 78 \)
7. \( y = 6 \)
8. Подставим \( y = 6 \) в первое уравнение: \( 9(6) + 8z = -2 \)
9. \( 54 + 8z = -2 \)
10. \( 8z = -56 \)
11. \( z = -7 \)

Ответ: \( y = 6, z = -7 \).