5. Не выполняя построений, найдите координаты пересечения графиков уравнений: a) 7x + 4y = 23 и 8x - 10y = 19; б) 11x - 6y = 2 и -8x + 5y = 3.

Задание 5. Координаты пересечения графиков

Чтобы найти координаты пересечения графиков, нужно решить систему уравнений.

а)

Дано:

• \( 7x + 4y = 23 \)
• \( 8x - 10y = 19 \)

Решение:

1. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:
2. \( 35x + 20y = 115 \)
3. \( 16x - 20y = 38 \)
4. Сложим два полученных уравнения: \( (35x + 20y) + (16x - 20y) = 115 + 38 \).
5. \( 51x = 153 \).
6. \( x = \frac{153}{51} = 3 \).
7. Подставим \( x = 3 \) в первое уравнение \( 7x + 4y = 23 \): \( 7(3) + 4y = 23 \).
8. \( 21 + 4y = 23 \).
9. \( 4y = 2 \).
10. \( y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

Ответ: \( (3; \frac{1}{2}) \).

б)

Дано:

• \( 11x - 6y = 2 \)
• \( -8x + 5y = 3 \)

Решение:

1. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 6, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:
2. \( 55x - 30y = 10 \)
3. \( -48x + 30y = 18 \)
4. Сложим два полученных уравнения: \( (55x - 30y) + (-48x + 30y) = 10 + 18 \).
5. \( 7x = 28 \).
6. \( x = 4 \).
7. Подставим \( x = 4 \) в первое уравнение \( 11x - 6y = 2 \): \( 11(4) - 6y = 2 \).
8. \( 44 - 6y = 2 \).
9. \( -6y = 2 - 44 \).
10. \( -6y = -42 \).
11. \( y = 7 \).

Ответ: \( (4; 7) \).