3. Решите системы уравнений: a) {5(x + 2y) - 3 = x + 5, y + 4(x - 3y) = 50; б) {2,5(x - 3y) - 3 = -3x + 0,5, 3(x + 6y) + 4 = 9y + 19.

Задание 3. Системы уравнений

а)

Дано:

• \( 5(x + 2y) - 3 = x + 5 \)
• \( y + 4(x - 3y) = 50 \)

Решение:

1. Раскроем скобки и упростим первое уравнение:
2. \( 5x + 10y - 3 = x + 5 \)
3. \( 4x + 10y = 8 \)
4. Разделим на 2: \( 2x + 5y = 4 \)
5. Раскроем скобки и упростим второе уравнение:
6. \( y + 4x - 12y = 50 \)
7. \( 4x - 11y = 50 \)
8. Теперь у нас есть система:
9. \( \begin{cases} 2x + 5y = 4 \ 4x - 11y = 50 \tag{1} \tag{2} \\text{\end{cases} \)
10. Умножим первое уравнение на -2, чтобы коэффициенты при \( x \) стали противоположными: \( -4x - 10y = -8 \).
11. Сложим измененное первое уравнение со вторым: \( (-4x - 10y) + (4x - 11y) = -8 + 50 \)
12. \( -21y = 42 \)
13. \( y = -2 \)
14. Подставим \( y = -2 \) в уравнение \( 2x + 5y = 4 \): \( 2x + 5(-2) = 4 \)
15. \( 2x - 10 = 4 \)
16. \( 2x = 14 \)
17. \( x = 7 \)

Ответ: \( x = 7, y = -2 \).

б)

Дано:

• \( 2,5(x - 3y) - 3 = -3x + 0,5 \)
• \( 3(x + 6y) + 4 = 9y + 19 \)

Решение:

1. Раскроем скобки и упростим первое уравнение:
2. \( 2,5x - 7,5y - 3 = -3x + 0,5 \)
3. \( 5,5x - 7,5y = 3,5 \)
4. Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: \( 11x - 15y = 7 \)
5. Раскроем скобки и упростим второе уравнение:
6. \( 3x + 18y + 4 = 9y + 19 \)
7. \( 3x + 9y = 15 \)
8. Разделим на 3: \( x + 3y = 5 \)
9. Теперь у нас есть система:
10. \( \begin{cases} 11x - 15y = 7 \ x + 3y = 5 \tag{1} \tag{2} \\end{cases} \)
11. Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = 5 - 3y \).
12. Подставим в первое уравнение: \( 11(5 - 3y) - 15y = 7 \)
13. \( 55 - 33y - 15y = 7 \)
14. \( -48y = 7 - 55 \)
15. \( -48y = -48 \)
16. \( y = 1 \)
17. Подставим \( y = 1 \) в уравнение \( x = 5 - 3y \): \( x = 5 - 3(1) = 5 - 3 = 2 \)

Ответ: \( x = 2, y = 1 \).